浅谈初中数学中的数形关系
摘要:“数形结合”是初中数学中一种重要的思想方法,本文论述了在初中数学教学中可以且应该渗透数形结合思想的八个方面。
关键词: 数形结合 初中数学教学
“形数本是两依依,数缺形时少直观,形少数时难人微,数形相助双翼飞。”这是著名数学家华罗庚教授对数形结合的精辟论述。数学的内涵决定了数与形的密不可分,由数构形,由形思数,即这种“数”与“形”的相互转换解决数学问题的思想叫做数形结合,它是数学思维的一种基本方法。
“数缺形,少直观;形缺数,难入微”,数形结合能使很多问题直观化、形象化、简单化。然而,数形结合的思想方法,不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵,形成对数形结合思想的的主动应用。
1.实数与数轴上的点的对应关系是一种最简单的数形结合
数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明,因为数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较,可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断,相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。
例:实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,
化简 = 。
利用数轴的直观性,结合实数绝对值的几何意义,结果易得,体现数形结合在解题中的直观与简明。
此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。
如求不等式 的非正整数解。
利用数轴将不等式的解集在数轴上直观地表示出来,使学生形象地看到的数有无限多个,但满足条件的非正整数只有-2、-1、0三个,说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的几何意义。
2.学会形中觅数,善于观察图形,找出图形中蕴含的代数关系
如果在一个几何问题中,条件和结论都容易用代数中的式子表示出来,那么,我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。
例:如图三所示,梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC﹦90°,AD﹦9,BC﹦12,AB=a,在线段BC上任取一点P,连结DP,作射线PE⊥DP,PE与直线AB交于点E。
试确定CP=3时,点E的位置。
若设CP﹦x,BE﹦y,试写出y关于自变量x的函数关系式;
分析:此题是一道几何与函数的综合题,题中设计的三个问题由易到难。第1:小题求静态下点E的位置,比较简单。第2:小题是在动态中探求y和x的关系。
解:点E与点B重合,如图,作DF⊥BC,F为垂足。当CP=3时,
∵四边形ADFB是矩形,则CF=3又BF⊥FD,∴此时点E与点B重合。
作DH⊥BC于H,易得△PBE~△PHD
数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究,人们在透过形的外表,探索由图形到数量的联系与规律,把图形信息转化为代数信息,使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。
3.掌握数与形的对应关系,以图识性,以性识图
数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。将抽象的数与直观的形双向联系与沟通,可使抽象思维与形象思维有机地结合起来,化抽象为形象,从而达到化难为易的目的。
例:某公园要建造圆形喷水池。在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。
①如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外?
②若水流喷出的抛物线形状与①相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)?
解决问题过程:①分析实际问题中的量,分清常量、变量及变量的变化范围;②探索量与量之间的关系,变量的变化规律,确定函数关系;③根据函数关系式,求二次函数的最大值或最小值;④考查所得到的二次函数的最大值或最小值是否符合实际问题的意义,明晰结论。这样设计能根据实际问题中数量变化关系的图象特征,用相关的二次函数知识解决实际问题。引导学生从探索具体问题中的函数关系的经历中,体验将实际问题数学化的过程,体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型,进而获得相应的数学思想、方法和技能,感受数学的价值。
参考文献:
[1]付东峰. 《中考中的数学思想方法》(初中数学),龙门书局,2003.9
[2]王汉超. 《初中数学竞赛专题讲练》.中学数学教学参考. 2007.5(初中)