让学生在数形中快乐学习数学

王文娟 

摘要：数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。

关键词: 数形结合 概念 几何意义 应用 观察 渗透

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；我们在教学时，应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。对于究竟应如何渗透，我认为没有固定的方法可言，但是我们可以做到积极的挖掘与引导，适当的训练与概括，合理的设计与运用，只要这样长期坚持下去，一定能够使学生较好的掌握数学思想方法，提高解题能力。

1、激发学生用数形结合的思想去解题的兴趣

教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣，熏陶学生的“数形结合”意识。“兴趣是最好的老师”，学习数学尤其如此。怎样使一个初中一年级的学生带着浓厚的兴趣步入“数形结合”的圈子呢？首先，展现数学美本身所蕴涵的数形美感。比如，不妨考虑用新学期的第一节课，重点地去向学生介绍一下数学史方面的知识。如勾股定理（利用动画使用三角形的三个边长做三个高一样的正方体，两个直角边长做的正方体的水刚好可以倒满斜边做的正方体内，反之也可以。应高相同，所以a²+b²=c²）、黄金分割等，相信这样的启蒙课对于渴望求知的初中生而言是很必要的，其实在今后的课堂中，我们也可以适当地穿插一些类似的内容，让学生经常领悟到数与形结合的客观美感，激发其学习兴趣。其次，重视“数形结合”基础阶段的引导。其实有关数形结合思想的内容几乎贯彻于初中数学的始终，但我个人认为，“数轴”的学习对于处于“数形结合”萌芽时期的初中生而言是决定性的。因为它在初中生的数形结合能力培养过程中起到一个根基性的作用。一方面，它可以与有理数、无理数的学习联系起来，让初中生开始感受什么是数形结合；另一方面，它通过方程、不等式的应用让学生真正体验到数形结合的思想气息，而恰恰是这种体验令学生见证了数与形的和谐统一，并在潜移默化中最终形成运用数形结合的思想意识。

2、重视数学概念的几何意义的教学

数学中的很多概念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学概念的几何意义。刚进入初中的学生在学习绝对值的概念时,教材对绝对值的几何意义作了如下描述:：“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离”。如果教师此时能有意识地重视讲清:“在数轴上表示数所对应的点到原点的距离,而表示数与对应的两点间距离”。

例：对于绝对值不等式：，便可以用图2.1解如下：。

不等式与不等式为同解不等式，

∴的几何意义便知式子中的在数轴上对应的点到点的距离应大于而不大于2。（如图中画有阴影线的部分）

      -3     -2   -1       0      1   

                      图2.1

通过认真讲述数学概念的几何意义,沟通数与形的本质联系,不仅可以深化对数学概念的理解,而且还为提高学生解决问题的能力开辟了新途径。所以从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学，知难而进，培养兴趣，持之以恒，将会有极大的收益。

3、重视数学的的基本图象在代数、三角上的应用

例：如图2.2,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?（结果精确到0.1km）（参考数据:,）

[解析]过点C作CD⊥AB,垂足为D.

在Rt△CAD中,可求CD=5,AD=.

在Rt△CBD中,可求BC=.

∴AB=.

∴AC+BC-AB=.

所以,隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走约3.4千米.

在初中阶段，数形结合是一种重要的数学思想，它要求学生把抽象的数或式与直观的“形”（几何图形）结合起来，达到使问题容易理解，思路易于把握的效果，华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，正说明了数形结合思想的重要性。我认为，由于数学知识越学越多，若没良好的学习方法，学得时候是囫囵吞枣，前一个知识还没弄懂、消化，后一个知识又开始学了,久而久之, 周而复始，不懂的知识越积越多,学生显然感到越学越差,越学越没劲，就会丧失学习数学的信念，这样兴趣从何而来？更多的学生是不会总结积累数学的思想、方法，学了后面忘了前面，学到最后，脑子里是一盆浆糊，一团乱麻。因此作为老师就要教他们梳理所学数学的知识和数学的思想、方法。特别要将教材中隐藏的思想方法挖掘出来，并且要把分析问题和解决问题的方式、方法教给学生，同时要让他们得到一定的训练，达到久久难以忘怀的程度，从而使学生感受到其中的乐趣。那么我现在所探讨的数形结合的思想方法就是教材中隐藏的数学的思想方法之一，它的特点：是直观形象、简捷明快、不易错。它也是中、高考重点考核的思想方法之一。很多数学问题用此方法来解，可以达到化难为易、化险为夷的目的。同时，也是实实在在对学生进行素质教育的一种方式。

4、掌握数与形的对应关系，以图识性，以性识图

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。将抽象的数与直观的形双向联系与沟通，可使抽象思维与形象思维有机地结合起来，化抽象为形象，从而达到化难为易的目的。

例：某公园要建造圆形喷水池。在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。

①如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外？

②若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m（精确到0.1m）？

解决问题过程：①分析实际问题中的量，分清常量、变量及变量的变化范围；②探索量与量之间的关系，变量的变化规律，确定函数关系；③根据函数关系式，求二次函数的最大值或最小值；④考查所得到的二次函数的最大值或最小值是否符合实际问题的意义，明晰结论。这样设计能根据实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。引导学生从探索具体问题中的函数关系的经历中，体验将实际问题数学化的过程，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型，进而获得相应的数学思想、方法和技能，感受数学的价值。

5、要善于利用数形结合培养学生的观察力

数形要结合，关键在于能根据函数式（或方程）画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义,教学中引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质地联系，从而寻求解决问题的有效方法。

例、在某一个圆上，我们考察同一个弧所对的圆心角和圆周角的关系。

教师可以在黑板上画图，引导学生进行观察：

1、当圆周角的一边与圆心角的一边共线（或圆心在圆周角的一边上）时，我们可以很快发现“圆周角是圆心角的一半”（见图4.1）；

2、当圆心在圆周角内时，我们只要做一条辅助线（连接圆形和圆周角的顶点的直径），再利用前面的结果又可发现“圆周角是圆心角的一半”（见图4.2）；

3、当圆心在圆周角外时，做同样的辅助线可以利用前面的结果得到“圆周角是圆心角的一半”（见图4.3）．

图4.1                图4.2              图4.3

我们从以上三个个别情形可以推得一般结论：“在任何情形下，同弧所对的圆周角是圆心角的一半”．

6、渗透方程思想，培养学生数学建模能力。

方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。运用方程思想求解的题目在中考试题中随处可见。同时，方程思想也是我们求解有关图形中的线段、角的大小的重要方法。

例：已知线段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求线段BC的长。

解：设AC=3x，则AB=5x，BC=7x，

因为AC+AB=16cm，

所以3x+5x=16cm，解得x=2

因此BC=7x=14cm

我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。我们在以前老教材中经常会提到三种模型，即方程模型、不等式模型、函数模型。实际上就是今天所说的建模的思想。那么这样看来，方程就是第一个出现的数学基本模型。所以方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小。因此说我们对学生进行方程思想的渗透，就是对学生进行数学建模能力的培养，这对我们学生以后的学习都有着深远的影响。

我们在授课中可以引导学生借助图表、示意图、线段图来分析题意，寻找已知量和未知量的关系。而它们之间的那个相等关系实际上就是方程模型，只要能把各个量带入方程模型，问题就能得到解决了；另外我认为，方程的思想方法作为一种建模能力，应该体现在学生能自觉的去运用这种方法、手段（模型），这就要求我们能引导学生从身边的实际问题出发自行创设、研究、运用方程。其实教材中也给了我们这方面的材料，比如教材《一元一次方程》章首的天平称盐活动、数学实际室月历上的游戏等，都可以成为我们利用的情境。

以上各例从不同侧面展现了数形结合的巧妙、新颖和简洁有效，充分说明了数与形之间的交替和互助作用。由此可见在解题过程中，巧妙地将数与形有机地结合起来，往往能使问题的解答简明、直观和有趣。将数形结合的数学思想方法渗透到课堂教学及解题训练中，对培养学生思维的广阔性、层次性及能力的提升都将是十分有效和有益的。